To ulike ordnede basiser for $\mathbb{R}^2$ er $\mathscr{B}=(b_1,b_2)$ og $\mathscr{C}=(c_1,c_2)$, hvor

$b_1 = \begin{bmatrix}-1\\8\end{bmatrix}, \quad b_2 = \begin{bmatrix}1\\-5\end{bmatrix}, \quad c_1 = \begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix} \quad \text{og} \quad c_2 = \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}.$

En vektor har koordinater $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ med hensyn på basis $\mathscr{B}$.

Hva er koordinatene til denne vektoren i standardbasisen?

Bestem basisbyttematrisen fra $\mathscr{C}$ til $\mathscr{B}$.

Vi ser på vektormengden $S = \{v_1, v_2, v_3, v_4\}$ med (hver kandidat får én av variantene)

Variante $1$:

$v_1 = \begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix}-2\\1\\12\end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix}11\\12\\-1\end{pmatrix}, v_4 = \begin{pmatrix}-5\\-1\\17\end{pmatrix}.$

Variante $2$:

$$v_1 = \begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix}-2\\1\\14\end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix}-4\\-5\\-2\end{pmatrix}, v_4 = \begin{pmatrix}-5\\-1\\17\end{pmatrix}.$$

Hvor mange elementer kan en lineært uavhengig delmengde i $S$ maksimalt ha?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$

La $u$ og $v$ være de komplekse tallene $u = 3 + 3i$ og $v = 2 - i$.

a) Vis at hvis man betrakter $\mathbb{C}$ som et reelt vektorrom, så danner $\mathcal{B} = (u,v)$ en basis for $\mathbb{C}$.

b) Forklar hvorfor $\mathcal{B}$ ikke er en basis for $\mathbb{C}$ tenkt på som et komplekst vektorrom.

c) Finn løsningene til ligningen

$z^5 + 4z = 0$

og beregn deres koordinater med hensyn på basisen $\mathcal{B}$ der vi oppfatter $\mathbb{C}$ som et reelt vektorrom.

Alternativene foreslår ulike operasjoner man kan gjøre på en totalmatrise $[A \mid \mathbf{b}]$ for en vektorligning $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$.

Huk av for operasjonene som ikke forandrer den resulterende løsningsmengden. (a) Multiplisere en rad med en konstant forskjellig fra $0$ (b) Erstatte rad $k$ med summen av rad $k$ og rad $j$ (c) Bytte om rad $k$ med rad $j$ (d) Erstatte første rad med summen av to andre rader (e) Sette $a_{i1} = 0$ for alle $i \neq 1$ (dvs sette alle elementer i første kolonne unntatt det første lik null) (f) Multiplisere totalmatrisen $[A|b]$ med en inverterbar matrise $M$, dvs erstatte $[A|b]$ med $[MA|Mb]$ (g) Legge til en konstant $\alpha \neq 0$ for alle diagonalelementene i matrisen

For hvilke $a$ har ligningssystemet

$x + 2y + z = 2,$

$$-3x - 4y + z = 0,$$ $$4x + 9y + (2a^2+4)z = 2a+9,$$

én løsning, ingen løsninger og uendelig antall løsninger?

La

$U = \{u \in \mathbb{R}^3 \mid u = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \text{ der } s, t \in \mathbb{R}\}.$

Hvilke påstander om delmengden $U$ stemmer?

Huk av alle riktige.

(a) Nullvektoren ligger i $U$.

(b) Mengden $U$ er et reelt underrom av $\mathbb{R}^3$.

(c) Hvis en vektor $u$ er i $U$, så er vektoren $-u$ også i $U$.

(d) Mengden $U$ er et tredimensjonalt underrom.

(e) Hvis en vektor $u$ er i $U$, så er vektoren $\lambda v$ også i $U$, der $\lambda \in \mathbb{R}$